Греческая математика
Речь пойдет об узкой части греческой математики, об обозначении чисел.
Буквенная нумерация
Греки обозначали цифры буквами алфавита. Буквенная нумерация - не греческий эксклюзив: греки позаимствовали её примерно в III в. до н.э. у финикиян (Юшкевич, хотя Томас Хит относит первое упоминание примерно к 450 г. до н.э.), а потом её повсеместно использовали и славяне, и евреи, и сирийцы, и арабы (т.н. арабские цифры - гораздо более позднее изобретение), и грузины, и армяне. У греков это обозначение называется ионийским, а до него использовалось аттическое / беотийское (по областям балканской Греции, где существовали мелкие отличия) или геродианово (по имени грамматика Геродиана, который описал её во II в. н.э.). Я не буду касаться геродиановых обозначений, потому что до античности они не дожили, а нам интересно, что там у Птолемея.
Целые
Греки использовали следующие буквенные обозначения:
| ноль | единицы | десятки | сотни | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| буква | число | буква | число | буква | число | ||
| ○ (НЕ ноль, а кружок) | 0 | ||||||
| α | 1 | ι | 10 | ρ | 100 | ||
| β | 2 | κ | 20 | σ | 200 | ||
| γ | 3 | λ | 30 | τ | 300 | ||
| δ | 4 | μ | 40 | υ | 400 | ||
| ε | 5 | ν | 50 | φ | 500 | ||
| ς (стигма) или ϝ (дигамма) |
6 | ξ | 60 | χ | 600 | ||
| ζ | 7 | ο | 70 | ψ | 700 | ||
| η | 8 | π | 80 | ω | 800 | ||
| θ | 9 | ϙ (коппа) | 90 | ϡ (сампи) | 900 | ||
Немножко прокомментирую приведенный список цифробукв.
○ - это не ноль, а кружок. 0 как число появилось все-таки в Индии. Но 0 как цифра, как знак, указывающий на отсутствие целой части числа появился у греков в виде ○. Возможно, это наследие счета на греческом абаке, счетах с камешками, где в качестве пустого разряда использовался круглый камешек с дыркой, называвшийся ψηφος (что и означает "камешек").
Классический алфавит античных греков включал 24 буквы, и поскольку их не хватало на полноценное обозначение чисел до 1000 (а нужно 9 x 3 = 27), греческие математики добавили три архаичные буквы, вышедшие из употребления еще в IV в. до н.э., до формирования нумерации: дигамму, коппу и сампи.
Дигамма ("двойная гамма", она же, в раннем варианте, вау / вав от исходной финикийской буквы) ϝ звучала как звонкое w. Стигма ς - это поздний византийский курсивный вариант дигаммы. Зачем он был нужен в поздневизантийкий период (после 1000 годов), если исходная дигамма к тому времени уже полтора тысячелетия не существовала, я не понимаю. Стигма очень похожа на концевую сигму σ -> ς (сигма в конце слова в современном греческом), но формально это разные буквы. Формально же, стигма - это лигатура σ + τ. Ну и наконец, я не знаю этимологической связи между "стигмой" и "стигматами".
Коппа ϙ - это глухой "к", от которого растет латинское q. Позднее начертание коппы, применяемое и в юникоде, похоже на молнию - Ϟ (в некоторых кодировках отображается "обычной" коппой), но для чисел оно не используется.
И последняя дополнительная буква греческой арифметики, сампи ϡ. Звучала, вероятно, как [с], вытеснена сигмой.
Вернемся однако ж к математике.
На 999 алфавит исчерпывался, и чтобы считать тысячи, использовались те же знаки, что и для первого десятка от α до θ, но перед ними слева внизу ставился штрих, примерно так: \α = 1000. Больше 9000 у греков запала, однако, не хватило (и полноценного позиционного обозначения они, увы, не открыли), и 10.000 обозначается не \ι, а специальным символом M. Дальнейшие подробности больших чисел я опускаю, потому что они на практике встречались редко.
Чтобы отличить на письме числа от текста, над ними или ставилась черта: 123 = ρκγ, или они закрывались верхней засечкой: 456 = υνς/.
Таким образом греки обозначали целые числа.
Дроби
Долгое время греки не считали дроби числами, а воспринимали их как действия над целыми, как операции с частями целого числа. Четвертая (часть) -> 4-ая -> δων, третья (часть) -> 3-я -> γος: греки поступали в математических текстах точно так, как поступаем сейчас мы на письме, прибавляя к числу-основанию грамматический суффикс в надстрочном регистре. Для сокращения суффикс постепенно заменился штрихом или двойным штрихом: 1/4 = δ' или 1/3 = γ". Были и другие варианты надстрочных символов.
Две трети могли написать так: β γος или так: β γ'. Но такое обозначение несло двузначность понимания, ведь это же выражение - β γ' - можно было прочитать и как 2 1/3! Понять значение можно было только из контекста, вникая в математический смысл текста.
По этой или по иной причине, примерно во втором веке до нашей эры пришли к греки знакомой нам записи дроби в виде числителя и знаменателя друг над другом. Правда, они располагали их обратным образом, знаменатель наверху, числитель внизу:
1 3/4 = α δγ.
Позже в обиход начало входить знакомое нам обозначение, называвшееся "индийским", числитель наверху, знаменатель внизу. Отсюда пошли наши обыкновенные дроби:
1 3/4 = α γδ.
Это было вполне удобное обозначение натуральных дробей. Но греки использовали и другие способы.
Аликвотные дроби
Александр Македонский завоевал Египет в 30-х годах IV в. до н.э. и основал в 332 году Александрию, ставшую новым центром эллинистической культуры. К этому времени египетская математика безнадежно отстала от греческой, но тесное взаимодействие традиций оказывало влияние. В частности, греки начали применять египетские дроби.
Египтяне использовали так называемые аликвотные дроби, или основные, или единичные - это дроби с числителем единица: 1/2, 1/3, 1/4 и т.д. Чтобы в счете получить иные дроби, необходимо суммировать несколько основных: 3/4 = 1/2 + 1/4, 8/15 = 1/3 + 1/5, 2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301.
В арифметических расчетах египетские дроби крайне неудобны, хотя, конечно, математики придумали способы и приемы облегчить себе жизнь (Ван дер Варден даже считает, что это стало одним из ограничителей развития египетской математики; м